April 2018 ~ Mathematics

Kamis, 19 April 2018

Baris & Deret Aritmatika

Baris
Baris adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh:
1, 2, 3, 4, 5, ... , dst.
3, 5, 7, 9, 11, … , dst.

Deret
Deret adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan.

Contoh:
1 + 2 + 3 + 4 + 5, ... + Un
3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + Un.

Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan “b”

Contoh:
3, 6, 9, 12, 15.
Barisan diatas merupakan barisan aritmatika karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama/tetap, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 15 – 12 = 3. Nah 3 inilah yang dinamakan beda.

Bentuk umum barisan aritmatika:

a, (a+b), (a+2b), (a+3b), …, (a+(n-1)b)

Beda:

Suku ke-n:

Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n

Contoh soal:
1. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …
Penyelesaian:
a = 3
b = 4

2. Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61.
Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
Penyelesaian:
a = 4

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:

Contoh soal:

Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah …

Penyelesaian:

barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131

suku pertama, a = 5

suku ke-n, Un = 131

suku tengah:

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika:

a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b)

rumus:

atau

keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama

Contoh soal:

Diketahui deret aritmatika sebagai berikut,

Tentukan:

a. Suku ke-10

b. Jumlah sepuluh suku pertama

Penyelesaian:

a. Suku ke-10

b. Jumlah sepuluh suku pertama:

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

• Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:

• Banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku:

• Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku:

Keterangan:

b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku

n’ = banyak suku barisan aritmatika baru

n = banyak suku barisan aritmatika lama

k = banyak suku yang disisipkan

Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

Contoh Soal:

Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

Penyelesaian:

Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116

a = 20

Un = 116

n = 2

k = 11 bilangan

banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k

= 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13

Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

Sumber:http://www.jendelailmu.net/2016/02/materi-barisan-dan-deret-aritmatika.html

April 19, 2018 1 comment » by Fery_17

Posted in Pola Bilangan

Persamaan Garis Lurus

Persamaan Garis Lurus adalah perbandingan antara koordinat x dan y dari dua titik pada sebuah garis yang membentuk garis lurus.

A. Menentukan Kemiringan (gradien)

Sebelum menentukan persamaan garis kita harus mengetahui gradien garis tersebut atau disebut kemiringannya (m)

Untuk menentukan gradien suatu garis dilakukanlah perbandingan

koordinat y : x

Cara diatas digunakan ketika diketahui dua titik koordinat yang membentuk garis.

Misalnya, Sebuah garis melewati titik (6,-7) dan (2,-4) tentukanlah gradient garis tersebut!

Perhatikan bentuk di atas ! untuk pengurangan boleh saja y1-y2 dengan catatan jika koordinat x juga sama seperti x1-x2 (jgn x2-x1). Begitupula sebaliknya, jadi perlu diingat bahwa penguranganya yg atas dan bawah harus sama arah

Kemudian untuk menentukan gradien dari sebuah persamaan garis , diubah dulu dalam bentuk

y = mx + c

Misal , tentukan gradien dari suatu garis dengan persamaan -2x+4y=17!

4y = 2x + 17 …….. pindah ruas

y = (2x + 17) / 4

y = 2/4 x + 17/4

jika sudah dirubah bentuknya tinggal ditentukan gradien , karna bentuknya

y = mx + c ; maka yang diperhatikan m aja untuk x , y dan c nya tidak usah dihiraukan

m = 2/4 = ½

B. Menentukan persamaan suatu garis lurus

Untuk dapat mementukan persamaan garis kita gunakan gradien sebagai patokannya dan disubstitusikan dalam persamaan dibawah ini

Keterangan :

m=gradien

x1,y1=titik sumbu x dan y pada salah satu koordinat

x dan y = tetap ditulis x dan y

Misal , tentukan persamaan garis yang melewati titik (0,0) dengan gradien ½

y – 0 = ½ (x-0) ……. Kemudian kedua ruas dikali 2 agar pecahan musnah :v

2 ( y-0) = x – 0

2y = x .… Bentuk ini udh jdi persamaan namun dpt diubah sesuai soal

x – 2y = 0

2x – 4y = 0 ……. Juga boleh ,pokoknya disesuaikan saja :v

C. Hubungan dua garis yang sejajar atau saling tegak lurus

Perlu diingat bahwa ;

Dua garis yang sejajar akan memiliki gradien yang sama dengan kata lain , m1=m2

Dua garis yang saling tegak lurus gradiennya adalah nilai kebalikan dari satunya dan dikali -1 , m1 x m2 = -1

Misal , garis f memiliki persamaan 2x – 4y = 0 . tentukan persamaan garis g jika garis g melewati titik (-1,-2) dan garis g dan f saling tegak lurus

Untuk soal macam tuh pertama cari dlu gradient garis f

y = -2/-4 x + 0 ………..caranya sma dengan atas

maka , gradien garis f = ½

Setelah itu karna mreka tegak lurus maka, gradien garis g = -2

Kok bsa kak? ½ dibalikin aj jdi 2/1 kemudian dikali -1

Nb : (Tapi klo mereka sejajar yah gradien g = ½)

Nah sekarang gradien garis g sudah dapat tinggal cari persamaan garis g , krna garis g melewati titik (1,-2) maka y1 = -2 dan x1 = -1

y – (-2) = -2 (x – (-1))

y + 2 = -2x - 2

2x + y = - 4 ……..ini persamaan nya tapi bsa dirubah

2x + y + 4 = 0 ………. Dan berbagai wujud lain :v

D. Menganalisa grafik garis lurus

Terkadang soal menyediakan gambar dan ditanyakan persamaan atau gradiennya , seperti gambar diatas !

Hal yang perlu kita ketahui ialah titik koordinat garis , perhatikan dulu garis k melewati titik (0,3) dan (3,0) , tau dari mana? Liat garis lurus k yang mengenai salah satu atau salah banyak titik koordinatnya (bulat hitam pada gambar) .

lahh klo gtu bnyk toh titiknya ? ya bener ada bnyk , tpi cri titik yg psti mksdnya jgn titik (2, ½ ) atau 1,28 sekian

Begitu juga dgn garis L yang melewati titik (-1,0) dan (0,1) .

Dengan diketahuinya titik koordinat garisnya kalian sudah dapat mencari gradiennya ,

Gradien garis k = -1 dan gradien garis L = 1

Lahh kok tak ad bentuk penjabarannya ?

Untuk sebuah garis yang ada melewati titik 0 (tidak berlaku untuk (0,0) ) gradiennya dapat kita cari dgn cara seorang kopatus :v

Kita kan sudah tau klo gradien itu y / x , maka krna titiknya ad berpapasan di 0 jgn hiraukan angka 0 langsung saja dibandingkan .

Namun perlu diingat

jika garisnya miring kekanan (semakin keatas semakin kanan) gradiennya bernilai positif , jika miring kiri (semakin naik semakin kekiri) gradiennya bernilai negatif

Misal pada garis L , krna miring kekanan maka positif

sehingga gradiennya 1 / -1 = -1 (tapi dipositifkan krna miring kekanan) makanya m garis L = 1

jikalau gradien sudah didapatkan udah bsa cri persamaan garisnya sama dengan cara tadi :v

nb: untuk dua garis seperti gmbar teliti lah dalam melihat titik nya jgn pula ingin cri gradien garis k tpi pke titik (3,0) dan (0,1) krna titik (0,1) tidak dilewati garis k begitu pula dengan cri persamaan.

Sumber : karangan sendiri :v

April 19, 2018 No comments » by Fery_17

Posted in Fungsi

Minggu, 15 April 2018

Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga dan Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran Dalam Segitiga

Sebuah lingkaran dapat sobat buat dalam sebuah segitiga. Caranya, buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitia tersebut sama besar (Bagaiaman cara membuat garis bagi akan kita bahas nanti). Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagiakan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga.

Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

L = ½ (AB x OD) + ½ ( CB x OE) + ½ (AC x OF)

L = ½ (AB x r) + ½ (CB x r) + ½ (AC x r)

L = ½ r (AB + CB + C)

L = ½ . r. Keliling segitiga

L = r. S

Asumsikan ½ keliling segitiga menjadi S

Maka ;

r = L/S

jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan ½ kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus

Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:

Dengan :

L = luas segitiga (jika memungkinkan bisa pake ½ . a. t)

S = ½ keliling segitiga

Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s. Baca Rumus Lengkap Berbagai Bentuk Segitiga

Atau bisa gunakan cara cepat untuk golongan tikus :v

r = a . t / keliling ∆

Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

∠CAD = ∠CTB = 90^o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)

∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

BC/CD = CT/AC
CD (diameter) = BC x AC / CT
CD (diameter) = a x b / CT_{……. (persamaan 1)}

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

L∆ABC = ½ AB x CT

2.L∆ABC = AB x CT

CT = 2.L∆ABC / AB

CT = 2L/ c_{……..(persamaan 2)}

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT
CD = a x b / (2L/c)
CD = a x b x c / 2L

Maka ;

½ CD = a x b x c / 4L

R = abc / 4L

Dengan :

L = luas segitiga

abc = perkalian sisi-sisi segitiga

sumber : http://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

April 15, 2018 No comments » by Fery_17

Posted in Geometri

Mathematics

Kamis, 19 April 2018

Baris & Deret Aritmatika

Persamaan Garis Lurus

Minggu, 15 April 2018

Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga dan Lingkaran Luar Segitiga

Search

Bookmark Us

Follow Us

Popular Posts

Blog Archive

Labels

Tentang Saya

Pages

About